题目
题型:不详难度:来源:
(1)若a1=0,bn=2n,求数列{an}的通项公式;
(2)若bn+1+bn-1=bn(n≥2),且b1=1,b2=2.记cn=a6n-1(n≥1),求证:数列{cn}为常数列;
(3)若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=1,b2=2.若数列{
an |
n |
答案
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=a1+b1+b2+…+bn-1
=2×1+2×2+…+2×(n-1)
=2×
(n-1)n |
2 |
∴数列{an}的通项为an=n2-n.
(2)∵bn+1+bn-1=bn(n≥2),
∴对任意的n∈N*有bn+6=bn+5-bn+4=-bn+3=bn+1-bn+2=bn,
∴数列{bn}是一个以6为周期的循环数列
又∵b1=1,b2=2,
∴b3=b2-b1=1,b4=b3-b2=-1,b5=b4-b3=-2,b6=b5-b4=-1.
∴cn+1-cn=a6n+5-a6n-1=a6n+5-a6n+4+a6n+4-a6n+3+…+a6n-a6n-1
=b6n+4+b6n+3+b6n+2+b6n+1+b6n+b6n-1=b4+b3+b2+b1+b6+b5
=-1+1+2+1-1+-2=0(n≥1),
所以数列{cn}为常数列.
(3)∵bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=1,b2=2,
∴b3=2,b4=1,b5=
1 |
2 |
1 |
2 |
且对任意的n∈N*,有bn+6=
bn+5 |
bn+4 |
1 |
bn+3 |
bn+1 |
bn+2 |
设cn=a6n+i(n≥0),(其中i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6},
∴cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5
=b1+b2+b3+b4+b5+b6
=1+2+2+1+
1 |
2 |
1 |
2 |
所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列.
记fn=
an |
n |
a6k+i |
6k+i |
ai+7 |
i+6k |
| ||||
i+6k |
7 |
6 |
ai-
| ||
i+6k |
(其中n=6k+i,k≥0,i为{1,2,3,4,5,6}中的一个常数),
当ai=
7i |
6 |
ai |
n |
7 |
6 |
当ai≠
7i |
6 |
ai-
| ||
6(k+1)+i |
ai-
| ||
6k+i |
=(ai-
7i |
6 |
1 |
6(k+1)+i |
1 |
6k+i |
=(ai-
7i |
6 |
-6 |
[6(k+1)+i](6k+i) |
①若ai>
7i |
6 |
a6k+i |
6k+i |
②若ai<
7i |
6 |
a6k+i |
6k+i |
综上,当ai=
7i |
6 |
an |
n |
当i=1时,a1=
7 |
6 |
7×2 |
6 |
7 |
3 |
此时的a1=a2-b1=
4 |
3 |
当i=3时,a3=
7×3 |
6 |
7 |
2 |
此时的a2=a3-b2=
3 |
2 |
1 |
2 |
当i=4时,a4=
7×4 |
6 |
14 |
3 |
此时的a1=a4-b3-b2-b1=-
1 |
3 |
当i=5时,a5=
7×5 |
6 |
35 |
6 |
此时的a1=a5-b4-b3-b2-b1=-
1 |
6 |
当i=6时,a6=
7×6 |
6 |
此时的a1=a6-b5-b4-b3-b2-b1=
1 |
2 |
即当a1∈{
7 |
6 |
4 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
6 |
数列{
an |
n |
核心考点
试题【已知数列{an},{bn},且满足an+1-an=bn(n=1,2,3,…).(1)若a1=0,bn=2n,求数列{an}的通项公式;(2)若bn+1+bn-1】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
x |
a(x+2) |
(1)求数列{xn}的通项公式;
(2)已知数列{an}满足a1=
1 |
2 |
1 |
4 |
2an |
an+2 |
3 |
4 |
1 |
x1+a1 |
1 |
2x2+a2 |
1 |
nxn+an |
A.31 | B.32 | C.33 | D.34 |
a-b |
c-b |
A.
| B.-
| C.
| D.-
|
A.10 | B.20 | C.40 | D.2+log25 |
1 |
2x |
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