题目

题型：不详难度：来源：

(12分) 设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上． (1) 求数列的通项公式； (2) 将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，求的取值范围．

答案

(Ⅰ)   (Ⅱ) ="2010 " （Ⅲ）

解析

(Ⅰ)因为点在函数的图象上，故，
所以．令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以．由此猜想：．
用数学归纳法证明如下：
① 当时，有上面的求解知，猜想成立．
② 假设时猜想成立，即成立，
则当时，注意到，
故，．
两式相减，得，所以．
由归纳假设得，，故．
这说明时，猜想也成立．由①②知，对一切，成立 ．
另解：因为点在函数的图象上，
故，所以①．令，得，所以；
时 ②时①－②得
令，即与比较可得，解得．因此
又，所以，从而．
(Ⅱ)因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 ．又=22，所以=2010.
（Ⅲ）因为，故，
所以．
又，
故对一切都成立，就是
对一切都成立．……………9分
设，则只需即可．
由于，
所以，故是单调递减，于是．
令即 ，解得，或．
综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数的取值范围是