题目
题型:不详难度:来源:
设数列的前项和为,对一切,点都在函数 的图象上.
(Ⅰ)求及数列的通项公式;
(Ⅱ) 将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(),(,),(,,),(,,,);(),(,),(,,),(,,,);(),…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为,求的值;
(Ⅲ)令(),求证:
答案
(Ⅱ) =2010
(Ⅲ)
解析
故,所以.令,得,所以;
令,得, ;令,得,.
由此猜想:.
用数学归纳法证明如下:
①当时,有上面的求解知,猜想成立.
②假设时猜想成立,即成立,
则当时,注意到,
故,.
两式相减,得,所以.
由归纳假设得,,故.
这说明时,猜想也成立.
由①②知,对一切,成立 . …………………………………………4分
另解:因为点在函数的图象上,
故,所以 ①.令,得,所以;
时 ②
时①-②得
令,
即与比较可得
,解得.
因此
又,所以,从而. …………4分
(2)因为(),所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),…. 每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号, 故 是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知,由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列,且公差为20. 同理,由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列,且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列,且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68,
所以 .又=22,所以="2010." ………………9分
(3)有(1)中知,∴,
当时,;
当时,
显然
而()
。…………………14分
核心考点
试题【(本小题满分14分)(注意:在试题卷上作答无效)设数列的前项和为,对一切,点都在函数 的图象上. (Ⅰ)求及数列的通项公式;(Ⅱ) 将数列依次按1项、2项、3项】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数,是方程f(x)=0的两个根,是f(x)的导数.
设,(n=1,2,……)
(1)求的值;
(2)证明:对任意的正整数n,都有>a;
(3)记(n=1,2,……),求数列{bn}的前n项和Sn。
在数列中,,其中.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)证明存在,使得对任意均成立.
设是数列()的前项和,,且,,.
(I)证明:数列()是常数数列;
(II)试找出一个奇数,使以18为首项,7为公比的等比数列()中的所有项都是数列中的项,并指出是数列中的第几项.
已知数列{an}中
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}中,证明:
≤
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