题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）已知数列，与函数，，满足条件：，.
（I）若，，，存在，求的取值范围；
（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）．

答案

（I）-2＜t＜2且
（II）对任意的，＜

解析

解法一：由题设知得，又已知,可得
由 其首项为.于是

又lima_n存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

解法二.由题设知tb_n+1=2b_n+1,且可得

由可知,所以是首项为,公的等比数列.

由 可知，若存在，则存在.于是可得0＜＜1,所以-1＜t.
=2
解法三:由题设知tb_n+1=2b_n+1,即
①
于是有
②
②-①得

由，所以是首项为b公比为的等比数列，于是

（b₂-b₁）+2b.
又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

说明：数列通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.
(Ⅱ)证明：因为.
下面用数学归纳法证明＜.
(1)当n=1时，由f(x)为增函数,且＜1,得
＜1
＜1
＜，
即＜，结论成立.
（2）假设n=k时结论成立，即＜.由f(x)为增函数，得
＜f即＜进而得
＜f()即＜.
这就是说当n=k+1时，结论也成立.
根据（1）和（2）可知，对任意的，＜.