题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)试问和经过不断的“变换”能否结束?若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;若不能,说明理由;
(Ⅱ)求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件;
(Ⅲ)证明:一定能经过有限次“变换”后结束.
答案
数列能结束,各数列依次为;;;.
……………3分
(Ⅱ)解:经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是.……4分
若,则经过一次“变换”就得到数列,从而结束.……5分
当数列经过有限次“变换”后能够结束时,先证命题“若数列为常数列,则为常数列”.
当时,数列.
由数列为常数列得,解得,从而数列也为常数列.
其它情形同理,得证.
在数列经过有限次“变换”后结束时,得到数列(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列也为常数列. ………8分
所以,数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是.
(Ⅲ)证明:先证明引理:“数列的最大项一定不大于数列的最大项,其中”.
证明:记数列中最大项为,则.
令,,其中.
因为, 所以,
故,证毕. ……………9分
现将数列分为两类.
第一类是没有为的项,或者为的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,.
第二类是含有为的项,且与最大项相邻,此时.
下面证明第二类数列经过有限次“变换”,一定可以得到第一类数列.
不妨令数列的第一项为,第二项最大().(其它情形同理)
①当数列中只有一项为时,
若(),则,此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;
若,则;此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;
若(),则,此数列各项均不为,为第一类数列;
若,则;;,
此数列各项均不为,为第一类数列.
②当数列中有两项为时,若(),则,此数列各项均不为,为第一类数列;
若(),则,,此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列.
③当数列中有三项为时,只能是,则,
,,此数列各项均不为,为第一类数列.
总之,第二类数列至多经过次“变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历次“变换”,数列的最大项又开始减少.
又因为各数列的最大项是非负整数,
故经过有限次“变换”后,数列的最大项一定会为,此时数列的各项均为,从而结束. ………………13分
解析
核心考点
试题【对于数列,定义“变换”:将数列变换成数列,其中,且,这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,…,依此类推,当得到的数列各项均为时变换结束.(Ⅰ)试问】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
给出下列三个结论:
① 数列是递减数列;
② 对,;
③ 若,,则.
其中,所有正确结论的序号是_____.
(Ⅰ)若,问等于数列中的第几项?
(Ⅱ)数列和的前项和分别记为和,的最大值为,当时,试比较与的大小
(1)求证:数列是等差数列;
(2)设数列的前项和为,求证:对任意的,都为定值.
(Ⅰ) 求此四数;
(Ⅱ)若前三数为等差数列的前三项,后三数为等比数列的前三项,令,求数列的前项和.
A.39 | B.20 | C.19.5 | D.33 |
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