题目

题型：不详难度：来源：

设公差不为0的等差数列{a_n}的首项为1，且a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足＋＋…＋＝1－，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）T_n＝3－.

解析

试题分析：（Ⅰ）主要利用等差、等比的概念来求；（Ⅱ）可以构造新数列，则＋＋…＋＝1－为其前项和，通过可求数列的通项公式，再根据可求，然后对其求和；
试题解析：(Ⅰ) 设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），则
∵a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，
∴＝a₂a₁₄，
即(1＋4d)²＝(1＋d)(1＋13d)，
解得d＝0（舍去），或d＝2．
∴a_n＝1＋(n－1)×2＝2n－1．                    4分
（Ⅱ）由已知＋＋…＋＝1－，n∈N^*，
当n＝1时，＝；
当n≥2时，＝1－－(1－)＝．
∴＝，n∈N^*．
由（Ⅰ），知a_n＝2n－1，n∈N^*，
∴b_n＝，n∈N^*．
又T_n＝＋＋＋…＋，
T_n＝＋＋…＋＋．
两式相减，得
T_n＝＋(＋＋…＋)－＝－－，
∴T_n＝3－．                         12分