题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分15分）已知数列中，，（n∈N*），
  （1）试证数列是等比数列，并求数列{}的通项公式；
（2）在数列{}中，求出所有连续三项成等差数列的项；
（3）在数列{}中，是否存在满足条件1＜r＜s的正整数r ，s ，使得b₁，b_r，b_s成等差数列？若存在，确定正整数r，s之间的关系；若不存在，说明理由．

答案

（1）（2）有且仅有连续三项b₂，b₃，b₄成等差数列
（3）存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b₁，b_r，b_s成等差数列

解析

   解：（1）证明: 由，得a_n＋1＝2ⁿ—a_n，
∴,
∴数列是首项为,公比为的等比数列．………………3分
∴ , 即，
∴…………………………………………………………………………5分
（2）解：假设在数列{b_n}中，存在连续三项b_k－1，b_k，b_k＋1（k∈N*, k≥2）成等差数列，则b_k－1＋b_k＋1＝2b_k，即，
即＝4………………………………………………………………7分
若k为偶数，则＞0，4＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得
    b_k－1，b_k，b_k＋1成等差数列。…………………………………………………………8分
若k为奇数，则k≥3，∴≥4，而4＝4，所以，当且仅当k＝3时，
    b_k－1，b_k，b_k＋1成等差数列。
综上所述，在数列{b_n}中，有且仅有连续三项b₂，b₃，b₄成等差数列。…………10分
（3）要使b₁，b_r，b_s成等差数列，只需b₁＋b_s＝2 b_r，
即3＋＝2[],即， ①
（ⅰ）若s＝r＋1，在①式中，左端＝0，右端＝，要使①式成立，当且仅当s为偶数时成立。又s＞r＞1，且s，r为正整数，所以，当s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b₁，b_r，b_s成等差数列。……………………………………………………………13分
（ⅱ）若s≥r＋2时，在①式中，左端≥＝＞0，右端≤0，∴当s≥r＋2时，b₁，b_r，b_s不成等差数列。
综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b₁，b_r，b_s成等差数列。…15分