题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）
已知数列满足，数列满足，数列
满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ），，试比较与的大小，并证明；
（Ⅲ）我们知道数列如果是等差数列，则公差是一个常数，显然在本题的数列中，不是一个常数，但是否会小于等于一个常数呢，若会，请求出的范围，若不会，请说明理由．

答案

解：（1）依题意得：，所以是等差数列，首项，公差，
所以，从而；                        ……………………………3分
（2）由（1）得，构造函数 则
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，即，当且仅当时取等号， ………5分
所以，即，当且仅当时取等号，
所以
当且仅当时取等号；                       …………………………………8分
（3）由（1）知，不妨设恒成立，且，
则，等价于，      ………………10分
记，则在上单调递减，
所以恒成立；
所以     ……………………………12分
记，，所以，
所以在上单调递增，所以
所以为所求范围．               ……………………14分

解析

略