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题目
题型:不详难度:来源:
(2013·杭州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=-ann-1+2(n∈N*),数列{bn}满足bn=2nan
(1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式.
(2)设数列的前n项和为Tn,证明:n∈N*且n≥3时,Tn
(3)设数列{cn}满足an(cn-3n)=(-1)n-1λn(λ为非零常数,n∈N*),问是否存在整数λ,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn
答案
(1)an(n∈N*)
(2)见解析
(3)存在整数λ=-1,使得对任意n∈N*有cn+1>cn
解析
(1)在Sn=-ann-1+2中,令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,即a1
当n≥2时,Sn-1=-an-1n-2+2,
所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1n-1
所以2an=an-1n-1,即2nan=2n-1an-1+1.
因为bn=2nan,所以bn=bn-1+1,即当n≥2时,bn-bn-1=1.
又b1=2a1=1,所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
于是bn=1+(n-1)·1=n=2nan
所以an(n∈N*).
(2)由(1)得cnan=(n+1)n
所以Tn=2×+3×2+4×3+…+(n+1)n,①
Tn=2×2+3×3+4×4+…+(n+1)n+1.②
由①-②得Tn=1+23+…+n-(n+1)n+1
=1+-(n+1)n+1

所以Tn=3-
Tn=3-

于是确定Tn的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小,
由2<2×1+1;22<2×2+1;23>2×3+1;24>2×4+1;25>2×5+1;…
可猜想当n≥3时,2n>2n+1,证明如下:
方法一:①当n=3时,对上式验算显示成立.
②假设当n=k时成立,则n=k+1(k≥2)时,
2k+1=2·2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1,
所以当n=k+1时猜想也成立.
综合①②可知,对一切n≥3的正整数,都有2n>2n+1.
方法二:当n≥3时,
2n=(1+1)n+…+=2n+2>2n+1,
综上所述,当n≥3时,Tn
(3)因为cn=3n=3n+(-1)n-1λ·2n
所以cn+1-cn=[3n+1+(-1)nλ·2n+1]-[3n+(-1)n-1λ·2n]
=2·3n-3λ(-1)n-1·2n>0,
所以(-1)n-1·λ<n-1.①
当n=2k-1(k=1,2,3,…)时,①式即为λ<2k-2,②
依题意,②式对k=1,2,3,…都成立,所以λ<1,
当n=2k,k=1,2,3,…时,①式即为λ>-2k-1,③
依题意,③式对k=1,2,3,…都成立,
所以λ>-,所以-<λ<1,又λ≠0,
所以存在整数λ=-1,使得对任意n∈N*有cn+1>cn
核心考点
试题【(2013·杭州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=-an-n-1+2(n∈N*),数列{bn}满足bn=2nan.(1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=,数列{an}满足:2an+1-2an+an+1an=0且an≠0.数列{bn}中,b1=f(0)且bn=f(an-1).
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求数列{|bn|}的前n项和Tn
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为等差数列的前项和,,则=
A.B.
C.D.2

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三个数a,b,c既是等差数列,又是等比数列,则a,b,c间的关系为 (    )
A.B.C.D.

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数列满足+1,且,则=(   ).
A.55B.56   C.65    D.66

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若数列的前项和,则此数列的通项公式为____________________.
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