题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知数列的第1项，且.
（1）计算，，；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.

答案

（1）1，，，；（2），证明见解析.

解析

第一问中利用已知的递推关系式可知借助于首项1，得到第二项和第三项和第四项。
第二问中，根据第一问中特殊情况，推广到一般，得到猜想，然后结合数学归纳法加以证明即可。
解：（1）由题意，当n=1时，；
当n=2时，；             （1分）
当n=3时，；             （2分）
当n=4时，.               （3分）
（2）猜想.                      （6分）
①当n=1时，猜想显然成立；                    （8分）
②假设当n=k（）时猜想成立，即，   （9分）
那么，，               （11分）
所以，当n=k+1时猜想也成立.                   （12分）
根据①和②，可知猜想对任何都成立.       （14分）