当前位置:高中试题 > 数学试题 > 复数的运算 > 已知复数z=32-12i,ω=22+22i.复数.zω,z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P,Q.证明△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点)....
题目
题型:不详难度:来源:
已知复数z=


3
2
-
1
2
i
ω=


2
2
+


2
2
i
.复数
.
,z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P,Q.
证明△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).
答案
解法一:z=


3
2
-
1
2
i=cos(-
π
6
)+isin(-
π
6
)
ω=


2
2
+


2
2
i=cos
π
4
+isin
π
4

于是zω=cos
π
12
+isin
π
12
.
=cos(-
π
12
)+isin(-
π
12
)
z2ω3=[cos(-
π
3
)+isin(-
π
3
)]×(cos
4
+isin
4
)
=cos
12
+isin
12

因为OP与OQ的夹角为
12
-(-
π
12
)=
π
2
,所以OP⊥OQ.
因为|OP|=|
.
|=1.|OQ|=|z2ϖ3|=1
,所以|OP|=|OQ|
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.
解法二:
因为z=


3
2
-
1
2
i=cos(-
π
6
)+isin(-
π
6
)
,所以z3=-i.
因为ω=


2
2
+


2
2
i=cos
π
4
+isin
π
4
,所以ω4=-1
于是
z2ω3
.
=
z2ω3
.
=
z3ω4
|z|2|ω|2
=i

由此得OP⊥OQ,|OP|=|OQ|.
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.
核心考点
试题【已知复数z=32-12i,ω=22+22i.复数.zω,z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P,Q.证明△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).】;主要考察你对复数的运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
若复数z满足方程z2+2=0,则z3=(  )
A.±2


2
B.-2


2
C.-2


2
i
D.±2


2
i
题型:广东难度:| 查看答案
2+4i
(1+i)2
的共轭复数是(  )
A.2+iB.-2+iC.2-iD.-2-i
题型:不详难度:| 查看答案
复数
5
i-2
+i3的值是(  )
A.2+2iB.-2-2iC.i-2D.2-i
题型:泸州一模难度:| 查看答案
已知z7=1(z∈C且z≠1).
(1)证明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0;
(2)设z的辐角为α,求cosα+cos2α+cos4α的值.
题型:北京难度:| 查看答案
复数
2i
1-i
的共轭复数为(  )
A.-3-iB.-1-iC.-1+iD.-2+2i
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.