题目

题型：不详难度：来源：

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

1

2

x，-sin

1

2

x），且x∈[0，

π

2

]．求：
（Ⅰ） 

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（Ⅱ）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求λ的值．

答案

（Ⅰ）

a

•

b

=cos

3

2

x•cos

1

2

x-sin

3

2

x•sin

1

2

x=cos2x--------------------（3分）
|

a

+

b

|=

a 2+2 a • b + b 2

=

2+2cos2x

=

2(1+cos2x)

=2|cosx|
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx＞0，∴|

a

+

b

|=2cosx．-------------------------------------（6分）
（Ⅱ）f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-1-4λcosx，设t=cosx，
则∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]
即y=f（x）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²．----------------------------------------（7分）
①λ＜0时，当且仅当t=0时，y取最小值-1，这与已知矛盾--------------------（8分）
②当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，y取得最小值-1-2λ²，
由已知得-1-2λ2=-

3

2

，解得λ=

1

2

---------------------------------------------（10分）
③当λ＞1时，当且仅当t=1时，y取得最小值1-4λ．
由已知得1-4λ=-

3

2

，解得λ=

5

8

，这与λ＞1相矛盾．
综上λ=

1

2

为所求．-----------------------------------------------------------------（12分）