题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知＝(cos＋sin，－sin)，＝(cos－sin，2cos).
(1)设f(x)＝·，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)设有不相等的两个实数x₁，x₂∈，且f(x₁)＝f(x₂)＝1，求x₁＋x₂的值.

答案

(1) T＝2π
f(x)的单调递减区间是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
(2) x₁＋x₂＝－

解析

本试题主要是考查了向量的数量积公式以及三角函数的图像与性质的综合运用。注意解三角方程，要看范围。
解：(1)由f(x)＝·得
f(x)＝(cos＋sin)·(cos－sin)＋(－sin)·2cos
＝cos²－sin²－2sincos＝cosx－sinx＝cos(x＋)，...........4分
所以f(x)的最小正周期T＝2π.............6分
又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
故f(x)的单调递减区间是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)      ……..8分
(2)由f(x)＝1得cos(x＋)＝1，故cos(x＋)＝       ……10分
又x∈，于是有x＋∈，得x₁＝0，x₂＝－，
所以x₁＋x₂＝－