题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)＝cos(2x＋)＋－＋sinx·cosx
⑴ 求函数f(x)的单调减区间；      ⑵ 若xÎ[0,]，求f(x)的最值；
⑶ 若f(a)＝，2a是第一象限角，求sin2a的值.

答案

⑴ ⑴f(x)的减区间是[＋kp,＋kp](kÎZ)    ⑵x＝时，f(x)_max＝1
⑶  

解析

第一问中，利用f(x)＝cos2x－sin2x－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)令＋2kp≤2x－≤＋2kp，
解得＋kp≤x≤＋kp 
第二问中，∵xÎ[0, ]，∴2x－Î[－,]，
∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)_min＝－,
当2x－＝， 即x＝时，f(x)_max＝1
第三问中，(a)＝sin(2a－)＝,2a是第一象限角,即2kp＜2a＜＋2kp
∴ 2kp－＜2a－＜＋2kp,∴ cos(2a－)＝
利用构造角得到sin2a＝sin[(2a－)＋]
解：⑴ f(x)＝cos2x－sin2x－cos2x＋sin2x     ………2分
＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)                 ……………………3分
⑴ 令＋2kp≤2x－≤＋2kp，
解得＋kp≤x≤＋kp          ……………………5分
∴ f(x)的减区间是[＋kp,＋kp](kÎZ)            ……………………6分
⑵ ∵xÎ[0, ]，∴2x－Î[－,]，           ……………………7分
∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)_min＝－,        ……………………8分
当2x－＝， 即x＝时，f(x)_max＝1          ……………………9分
⑶ f(a)＝sin(2a－)＝,2a是第一象限角,即2kp＜2a＜＋2kp
∴ 2kp－＜2a－＜＋2kp,∴ cos(2a－)＝,   ……………………11分
∴ sin2a＝sin[(2a－)＋]
＝sin(2a－)·cos＋cos(2a－)·sin   ………12分
＝×＋×＝