题目

题型：不详难度：来源：

已知向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（

3

，-1），（

m

-

n

）⊥

m

，且A为锐角．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

答案

（Ⅰ）由题意得，向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（

3

，-1），可得

m

•

n

=

3

sinA-cosA，
再由（

m

-

n

）⊥

m

，可得（

m

-

n

）•

m

=

m

2-

m

•

n

=1-

3

sinA+cosA=2sin（A-

π

6

）-1=0，
解得 sin（A-

π

6

）=

1

2

．
再由A为锐角得 A-

π

6

=

π

6

，故有A=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=

1

2

，所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=

3

2

-2(sinx-

1

2

)2，
因为x∈R，所以sinx∈[-1，1]，因此，当sinx=

1

2

时，f（x）有最大值

3

2

，
当sinx=-1时，f（x）有最小值-3，所以所求函数f（x）的值域是[-3，

3

2

]．