题目

题型：湖北模拟难度：来源：

已知向量

a

=（sin（ωx+φ），2），

b

=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜

π

4

．函数f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

），若y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1，且过点M（1，

7

2

）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）当-1≤x≤1时，求函数f（x）的单调区间．

答案

（1）f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=sin²（ωx+φ）+4-1-cos²（ωx+φ），
=-cos（2ωx+2φ）+3
由题意得周期T=

2π

2ω

=4，故ω=

π

4

…（4分）
又图象过点M（1，

7

2

），所以

7

2

=3-cos（

π

2

+2φ）
即sin2φ=

1

2

，而0＜φ＜

π

4

，所以2φ=

π

6

∴f（x）=3-cos（

π

2

x+

π

6

）
（2）当-1≤x≤1时，-

π

3

≤

π

2

x+

π

6

≤

2π

3

∴当-

π

3

≤

π

2

x+

π

6

≤0时，即x∈[-1，-

1

3

]时，f（x）是减函数
当0≤

π

2

x+

π

6

≤

2π

3

时，即x∈[-

1

3

，1]时，f（x）是增函数
∴函数f（x）的单调减区间是[-1，-

1

3

]，单调增区间是[-

1

3

，1]