题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=a（cos²x+sinxcosx）+b
（1）当a＞0时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜0且x∈[0，

π

2

]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

答案

（1）∵cos²x=

1

2

（1+cos2x），sinxcosx=

1

2

sin2x
∴f（x）=a（cos²x+sinxcosx）+b=

1

2

a（sin2x+cos2x）+

1

2

a+b
=

2

2

asin（2x+

π

4

）+

1

2

a+b
当a＞0时，令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）
得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，（k∈Z），
因此函数f（x）的单调递增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，（k∈Z）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
∴当x=

π

2

时，f（x）的最大值-

1

2

a+

1

2

a+b=4…①
当x=

π

8

时，f（x）的最小值

2

2

a+

1

2

a+b=3…②
联解①②，可得a=2-2

2

，b=4．