题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sinAcosC+

1

2

sinC=sinB．
（Ⅰ）求角A的大小；
 （Ⅱ）若a=2，求△ABC周长的最大值及相应的b，c值．

答案

（Ⅰ）∵sinAcosC+

1

2

sinC=sinB
由正弦定理及余弦定理得a×

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b
∴a²=b²+c²-bc
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

另∵sinAcosC+

1

2

sinC=sinB
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC
∵A∈（0，π），
∴sinC≠0，
从而cosA=

1

2

∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

（Ⅱ） 由已知及（Ⅰ）知得  
4=a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc
4≥(b+c)2-

3

4

(b+c)2=

1

4

(b+c)2
∴b+c≤4，当且仅当b=c=2时取“=”．
∴当b=c=2时，△ABC周长的最大值为6