题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，并且当x=

π

12

时，有最大值f（

π

12

）=4．
（1）求a、b、ω的值；
（2）若角α、β的终边不共线，f（α）=f（β）=0，求tan（α+β）的值．

答案

（1）由

2 π

ω

=π，ω＞0得ω=2．
∴f（x）=asin2x+bcos2x．
由x=

π

12

时，f（x）的最大值为4，
得

a2+b2 =4 a 2 + 3 2 b=4

⇒

a=2 b=2 3 .

（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+

π

3

）．
依题意有4sin（2α+

π

3

）=4sin（2β+

π

3

）=0．
∴sin（2α+

π

3

）-sin（2β+

π

3

）=0．
∴cos（α+β+

π

3

）sin（α-β）=0（和差化积公式见课本）．
∵α、β的终边不共线，即α-β≠kπ（k∈Z），
故sin（α-β）≠0．
∴α+β=kπ+

π

6

（k∈Z）．
∴tan（α+β）=

3

3

．