题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=tan（2x+

π

4

）
（I）求该函数的定义域，周期及单调区间；
（II）若f（θ）=

1

7

，求

2cos2 θ 2 -sinθ-1

2 sin(θ+ π 4 )

的值．

答案

（Ⅰ）由题意得，T=

π

2

由2x+

π

4

≠

π

2

+kπ（k∈Z）得，x≠

kπ

2

+

π

8

，
由-

π

2

+kπ＜2x+

π

4

＜

π

2

+kπ（k∈Z）得，

kπ

2

-

3π

8

＜x＜

kπ

2

+

π

8

，
综上得，函数的周期是

π

2

，定义域是{x|x≠

kπ

2

+

π

8

，k∈Z}，
单调增区间是（

kπ

2

-

3π

8

，

kπ

2

+

π

8

）（k∈Z）．
（Ⅱ）式子

2cos2 θ 2 -sinθ-1

2 sin(θ+ π 4 )

=

cosθ-sinθ

sinθ+cosθ

=

1-tanθ

tanθ+1

①，
∵f（θ）=

1

7

，∴tan（2θ+

π

4

）=

1

7

，
则tan2θ=tan[（2θ+

π

4

）-

π

4

]=

1 7 -1

1+ 1 7

=-

3

4

，
由tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=-

3

4

得，tanθ=3或-

1

3

，
把tanθ=3代入上式①得，

2cos2 θ 2 -sinθ-1

2 sin(θ+ π 4 )

=-

1

2

，
把tanθ=-

1

3

代入上式①得，

2cos2 θ 2 -sinθ-1

2 sin(θ+ π 4 )

=2．