题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)，(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的解析式及其单调递减区间

答案

(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)
＝2＝2sin.
因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，
因此sin＝sin.
即－sin ωxcos＋cos ωxsin
＝sin ωxcos＋cos ωxsin，
整理得sin ωxcos＝0.
因为ω>0，且x∈R，所以cos＝0.
又因为0<φ<π，故φ－＝.
所以f(x)＝2sin＝2cos ωx.
由题意得＝2·，所以ω＝2.故f(x)＝2cos 2x.
因此f＝2cos＝.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到
f的图象．
所以g(x)＝f＝2cos
＝2cos.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)

解析

略