题目

题型：解答题难度：困难来源：辽宁省高考真题

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a＞0）。
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）及f（x）的导数f′（x）；
（2）假设对任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f^-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围。

答案

解：（1）设y=ln（e^x+a），a＞0，
则e^y=e^x+a，
∴e^x=e^y-a，a＞0，
∴x=ln（e^y-a），x，y互换得到函数y=f（x）的反函数
f^-1（x）=ln（e^x-a），x∈R；
f′（x）=。
（2）由|m-f^-1（x）|+ln（f"（x））＜0得ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜m＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x
设φ（x）=ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x，ψ（x）=ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x，
于是原不等式对于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等价于φ（x）＜m＜ψ（x）①
由，
注意到
故有
从而φ（x）与ψ（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上单调递增
因此不等式①成立当且仅当
即。