题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知函数f（x）=log_a（x+1），点P是函数y=f（x）的图象上任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g（x）的图象。
（1）当0<a<1，解关于x的不等式：2f（x）+g（x）≥0；
（2）若当a>1，且x∈[0，1）时，总有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围。

答案

解：由题意知，点P、Q关于原点对称，设Q（x，y）是函数y=g（x）图象上任一点，则P（-x，-y）是f（x）=log_a（x+1）的图象上的点，所以-y=log_a（-x+1），即g（x）= -log_a（1-x）
（1）当0＜a＜1时，2f（x）+g（x）≥0
即
解得-1＜x≤0
因此，当0＜a＜1时，不等式2f（x）+g（x）≥0的解集为{x|-1＜x≤0}；
（2）y=2f（x）+g（x）=2log_a（1+x）-log_a（1-x）
当a>1，且x∈[0，1）时，2f（x）+g（x）≥m恒成立，
即恒成立
设
∵0≤x＜1
∴0＜1-x≤1
∴当1-x=1时，f（x）取最小值，φ（x）_min=1
∴a^m≤1
∴m≤0
故实数m的取值范围是m≤0。