题目

题型：解答题难度：困难来源：四川省期中题

已知函数f（x）=log_a （a＞0，a≠1）的图象关于原点对称．
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明；
（3）当a＞1，x∈（t，a）时，f（x）的值域是（1，+∞）求a与t的值．

答案

解：（1）因为函数f（x）=log_a（a＞0，a≠1）的图象关于原点对称，即f（x）为奇函数，则
f（﹣x）+f（x）=0，
loga+loga=loga=0，
即=1，
解可得，m=1或m=﹣1，
当m=1时，=﹣1＜0，不合题意，舍去；
当m=﹣1时，=，符合题意，
故m=﹣1；
（2）当0＜a＜1时，log_a＞0，即f（x₂）﹣f（x₁）＞0，
此时f（x）为增函数，
当a＞1时，log_a＜0，即f（x₂）﹣f（x₁）＜0，
此时f（x）为减函数，证明如下
由（1）得m=﹣1，则f（x）=log_a，任取1＜x₁＜x₂，则
f（x₂）﹣f（x₁）=log_a﹣log_a=log_a，
又由1＜x₁＜x₂，则0＜＜1，
当0＜a＜1时，loga＞0，即f（x₂）﹣f（x₁）＞0，
此时f（x）为增函数，
当a＞1时，loga＜0，即f（x₂）﹣f（x₁）＜0，
此时f（x）为减函数，
（3）由（1）知，f（x）=loga，＞0，解可得，x＞1或x＜﹣1，则
f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故（t，a）必然含于（﹣∞，﹣1）或（1，+∞），
由a＞1，可知（t，a）（- ∞，﹣1）不成立，则必有（t，a）（1，+∞），
此时，f（x）的值域为（1，+∞），
又由函数f（x）为减函数，必有f（a）=1且=0；
解可得，t=﹣1，a=1+；
故t=﹣1，a=1+．