题目

题型：解答题难度：一般来源：湖南省月考题

已知函数．函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
①求g（x）的解析式．
②设h（x）=f（x）+g（x），求h（x）的最值和单调区间．

答案

解：①设P（x，g（x））是函数y=g（x）图象上一点，
P关于直线x=1对称的点Q（x"，f（x"））在函数y=f（x）的图象上
∴，
可得，
∴g（x）=f（x"）=f（2﹣x）=
∴g（x）的解析式是  
②根据题意，得

其中2x﹣x²＞0，即0＜x＜2，可得h（x）的定义域为（0，2），
令t=2x﹣x²，则当x∈（0，1）时，t是关于x的增函数；
当x∈（1，2）时，t是关于x的减函数．
∵0＜＜1，y=是关于t的减函数
∴函数y=h（x）的增区间是（1，2），减区间为（0，1）
又∵0＜2x﹣x²=﹣（x﹣1）²+1≤1，
∴≥=0，
即h（x）≥0
∴h（x）有最小值0，无最大值．