题目

题型：解答题难度：一般来源：专项题

已知函数f(x)=lg(x+-2)，其中a是大于0的常数，
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域；
(Ⅱ)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，+∞)上的最小值；
(Ⅲ)若对任意x∈[2，+∞)恒有f(x)＞0，试确定a的取值范围。

答案

解：(Ⅰ)由题意，，即x(x²-2x+a)＞0，
ⅰ)当Δ=4-4a＜0，即a＞1时，x²-2x+a＞0恒成立，故定义域为(0，+∞)；
ⅱ)当Δ=4-4a=0，即a=1时，定义域为(0，1)∪(1，+∞)；
ⅲ)当Δ=4-4a＞0，即a＜1时，，
即定义域为；
(Ⅱ)∵1＜a＜4，在上递减，上递增，
又，
∴在[2，+∞)上递增，
∴。
(Ⅲ)f(x)＞0，即a＞(3-x)x在[2，+∞)恒成立，
t=-x²+3x(x≥2)的最大值为2，
∴a＞2。