题目

题型：解答题难度：一般来源：北京期中题

已知函数f（x）=log₄（ax²+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

答案

解：（1）∵f（x）=log₄（ax²+2x+3）且f（1）=1，
∴log₄（a●1²+2×1+3）=1a+5=4a=﹣1
可得函数f（x）=log₄（﹣x²+2x+3）
∵真数为﹣x²+2x+3＞0﹣1＜x＜3
∴函数定义域为（﹣1，3）
令t=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4 可得：
当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；
当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．
∵底数为4＞1
∴函数f（x）=log₄（﹣x²+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）
（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，由于底数为4＞1，
可得真数t=ax²+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，
即a为正数，且当x=﹣=﹣时，t值为1．
所以a=

所以a=，使f（x）的最小值为0．