题目

题型：解答题难度：一般来源：遂溪县一模

已知函数f(x)=

ln(ax)

x+1

-ln(ax)+ln(x+1)，（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）当a＞0时，由

a＞0 ax＞0 x+1＞0

得x＞0；当a＜0时由

a＜0 ax＞0 x+1＞0

得-1＜x＜0
综上：当a＞0时函数f（x）的定义域为（0，+∞）；
当a＜0时函数f（x）的定义域为（-1，0）（3分）
（Ⅱ）f′(x)=

x+1 x -ln(ax)

(x+1)2

-

1

x

+

1

x+1

=

(x+1)-xln(ax)-(x+1)2+x(x+1)

x(x+1)2

=

-ln(ax)

(x+1)2

（5分）
令f"（x）=0时，得lnax=0，即x=

1

a

，
①当a＞0时，x∈(0，

1

a

)时f"（x）＞0，当x∈(

1

a

，+∞)时，f"（x）＜0，
故当a＞0时，函数的递增区间为(0，

1

a

)，递减区间为(

1

a

，+∞)
②当-1≤a＜0时，-1＜ax＜0，所以f"（x）＞0，
故当-1≤a＜0时，f（x）在x∈（-1，0）上单调递增．
③当a＜-1时，若x∈(-1，

1

a

)，f"（x）＜0；若x∈(

1

a

，0)，f"（x）＞0，
故当a＜-1时，f（x）的单调递增区间为(

1

a

，0)；单调递减区间为(-1，

1

a

)．
综上：当a＞0时，f（x）的单调递增区间为(0，

1

a

)；单调递减区间为(

1

a

，+∞)
当-1≤a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-1，0）；
当a＜-1时，f（x）的单调递增区间为(

1

a

，0)；单调递减区间为(-1，

1

a

)；（10分）
（Ⅲ）因为当a＞0时，函数的递增区间为(0，

1

a

)；单调递减区间为(

1

a

，+∞)
若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，只须f(

1

a

)≥ln(2a)，
即ln(

a+1

a

)≤ln2a⇒

a+1

a

≥2a⇒

a＞0 - 1 2 ≤a≤1

⇒0＜a≤1（14分）