题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)试判断函数F(x)=(x2+1) f (x) – g(x)在[1,+∞)上的单调性;
(2)当0<a<b时,求证:函数f (x) 定义在区间[a,b]上的值域的长度大于(闭区间[m,n]的长度定义为n –m).
(3)方程f(x)=是否存在实数根?说明理由。
答案
(2)略
(3)不存在实数根
解析
∴F ′(x)= 2xlnx+.
∴当x≥1时,F′(x)≥0且仅当x = 1时F′(x)=" 0" ∴F(x)在(1,+∞)上单调递增。
(2)∵0<a<b,f (x)在[a,b]上的值域为[lna,lnb]
∴要证值域的长度大于,
即证lnb – lna>
只要证ln
∵0<a<b,∴令
则只要证lnx> (x>1)
即证(x2+1)lnx –(2x –2)>0 (※)
由(1)可知F(x)在(1,+∞)上单调递增∴F(x)>F(1)=" 0" 所以(※)式成立.
∴f (x)在[a, b]上的值域的长度大于.……9分
(3)∵f (x) = xlnx=
令h (x) = xlnx(x>0).则h ′(x)=lnx+1,
易知,在上单调递减,在上单调递增
当时,
令,则
易知,在上单调递增,在上单调递减
当时,
∵∴方程f(x)=不存在实数根
核心考点
试题【已知函数.(1)试判断函数F(x)=(x2+1) f (x) – g(x)在[1,+∞)上的单调性;(2)当0<a<b时,求证:函数f (x) 定义在区间[a,】;主要考察你对对数函数的定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A. | B.1 | C. | D. |
A.关于原点对称 | B.关于直线对称 |
C.关于轴对称 | D.关于直线对称 |
( )
A.f(x)=(x>0) | B.f(x)=log2(-x)(x<0= |
C.f(x)=-log2x(x>0) | D.f(x)=-log2(-x)(x<0= |
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