题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数（，为常数），且为的一个极值点．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 求函数的单调区间；
(Ⅲ) 若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围．

答案

解： (Ⅰ) 函数f (x)的定义域为（0，+∞）……1分
∵ f ′ (x) =              ……….2分
∴，则a = 1．……….4分 
(Ⅱ)由(Ⅰ) 知
∴ f ′ (x) =   ………6分 
由f ′ (x) > 0可得x>2或x<1，由f ′ (x) < 0可得1< x <2．
∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )，
单调递减区间为 (1 , 2 )．                    …9分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．
且当x =1或x =2时，f ′ (x) = 0．                         
∴ f (x) 的极大值为       …10分       
f (x)的极小值为    
由题意可知 
则                             ………11分

解析

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，利用导数来判定函数的单调性，以及函数的零点的综合运用。
（1）函数f (x)的定义域为（0，+∞） ∵ f ′ (x) = 
∴，则a = 1
（2）由(Ⅰ) 知
∴ f ′ (x) =解二次不等式得到单调区间。
（3）由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．
且当x =1或x =2时，f ′ (x) = 0。