题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数f(x)＝log₄(4^x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)设g(x)＝log₄，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

答案

（1）k＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．

解析

(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，
∴log₄(4^x＋1)＋kx＝log₄(4^－x＋1)－kx.
log₄＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log₄(4^x＋1)－x＝log₄有且只有一个实根，化简得方程2^x＋＝a·2^x－a有且只有一个实根．令t＝2^x>0，则方程(a－1)t²－at－1＝0有且只有一个正根．
①a＝1t＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3.若a＝t＝－2，不合题意，若a＝－3t＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.
综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．