题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=2^x-4^x
（1）求f（x）的值域
（2）解不等式f（x）＞16-9×2^x．
（3）若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，求m的取值范围．

答案

（1）令t=2^x，则t＞0，所以原函数转化为y=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

在（0，

1

2

）上为增函数，在（

1

2

，+∞）上是减函数，
∴y≤

1

4

，f（x）的值域（-∞，

1

4

]．
（2）因为f（x）＞16-9×2^x⇒（2^x）²-10×2^x+16＜0⇒（2^x-2）（2^x-8）＜0⇒2＜2^x＜8⇒1＜x＜3．
所以不等式f（x）＞16-9×2^x的解集为{x|1＜x＜3}．
（3）令t=2^x，因为x∈[-1，1]⇒t∈[

1

2

，2]，
所以关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解转化为y=t-t²=m在t∈[

1

2

，2]上有解
又因为y=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

在t∈[

1

2

，2]上为减函数，
所以y_max=

1

4

，y_min=-2，即-2≤m≤

1

4

．
故m的取值范围-2≤m≤

1

4

．