已知函数f(x)=2x+1定义在R上. (1)若存在,使得f(x)+f(-x)=a成立,求实数a的取值范围; (2)若可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)+m2-m-1(m∈R),求出p(t)的解析式; (3)若对任意x∈[1,2]都有p(t)≥m2-m-1成立,求实数m的取值范围. |
(1)依题意有a=2x+1+2-x+1, 即关于x的方程a=2•2x+有解.…(2分) 而2•2x+≥2=4,当且仅当2•2x=,即x=0时等号成立,故实数a的取值范围是[4,+∞).(4分) (2)假设f(x)=g(x)+h(x)①,其中g(x)为偶函数,h(x) 为奇函数, 则有f(-x)=g(-x)+h(-x),即f(-x)=g(x)-h(x)②, 由①②得g(x)=,h(x)=(5分) ∵f(x)定义在R上, ∴g(x),h(x)都定义在R上. ∵g(-x)==g(x),h(-x)==-h(x).∴满足g(x)是偶函数,h(x)是奇函数, 又∵f(x)=2x+1, ∴g(x)===2x+h(x)===2x-.(7分) 由2x-=t,则t∈R,平方, 得t2=(2x-)2=22x+-2,∴g(2x)=22x+=t2+2, 故p(t)=t2+2mt+m2-m+1.(9分) (3)∵t=h(x)在x∈[1,2]上是增函数,(10分) ∴≤t≤.(12分) ∴p(t)=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于t∈[,]恒成立, ∴m≥-=-(+)对于t∈[,]恒成立(14分) 令φ(t)=-(+),则+≥, 当且仅当t=时等号成立,而∉[,], ∴函数φ(t)=-(+)在t∈[,]上是减函数, ∴φ(t)max=φ()=-,故m≥-.(16分) |
核心考点
试题【已知函数f(x)=2x+1定义在R上.(1)若存在,使得f(x)+f(-x)=a成立,求实数a的取值范围;(2)若可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x】;主要考察你对
指数函数图象及性质等知识点的理解。
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举一反三
设某银行一年内吸纳储户存款的总数与银行付给储户年利率的平方成正比,若该银行在吸纳到储户存款后即以5%的年利率把储户存款总数的90%贷出以获取利润,问银行支付给储户年利率定为多少时,才能获得最大利润? (注:银行获得的年利润是贷出款额的年利息与支付给储户的年利息之差.) |
在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y=4[ln(m+x)-ln(m)]+2ln2,要使火箭的最大速度可达12km/s,则燃料质量与火箭质量的比值是______. |
某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池,其容积为4800立方米,深度为3米.池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元.设池底长方形长为x米. (Ⅰ)求底面积,并用含x的表达式表示池壁面积; (Ⅱ)当x为何值时,水池的总造价最低? |
现在市面上有普通型汽车(以汽油为燃料)和电动型汽车两种.某品牌普通型汽车车价为12万元,第一年汽油的消费为6000元,随着汽油价格的不断上升,汽油的消费每年以20%的速度增长.其它费用(保险及维修费用等)第一年为5000元,以后每年递增2000元.而电动汽车由于节能环保,越来越受到社会认可.某品牌电动车在某市上市,车价为25万元,购买时一次性享受国家补贴价6万元和该市市政府补贴价4万元.电动汽车动力不靠燃油,而靠电池.电动车使用的普通锂电池平均使用寿命大约两年(也即两年需更换电池一次),电池价格为1万元,电动汽车的其它费用每年约为5000元. (1)求使用n年,普通型汽车的总耗资费Sn(万元)的表达式(总耗资费=车价+汽油费+其它费用); (2)比较两种汽车各使用10年的总耗资费用.(参考数据:1.24≈2.11.25≈2.51.29≈5.21.210≈6.2) |