题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

（本小题满分14分）某城市自西向东和自南向北的两条主干道的东南方位有一块空地市规划部门计划利用它建设一个供市民休闲健身的小型绿化广场，如下图所示是步行小道设计方案示意图，

其中，分别表示自西向东，自南向北的两条主干道.设计方案是自主干道交汇点处修一条步行小道，小道为抛物线的一段，在小道上依次以点
为圆心，修一系列圆型小道，这些圆型小道与主干道相切，且任意相邻的两圆彼此外切，若（单位：百米）且.
（1）记以为圆心的圆与主干道切于点，证明：数列是等差数列，并求关于的表达式；
（2）记的面积为，根据以往施工经验可知，面积为的圆型小道的施工工时为（单位：周）.试问5周时间内能否完成前个圆型小道的修建？请说明你的理由.

答案

（1）. (2) 5周内能完成前个圆型小道的修建工作.

解析

(1)由题意知的半径.再根据与彼此相切,得，=,平方整理可证明结论.
(2)由于，所以可得=
<
再裂项求和即可证明结论.
解：（1）依题设的半径.
与彼此相切,，
=，
两边平方整理得：,又,
,.
是等差数列，首项为1，公差为2.
,即.…………………………8分
(2),
设前几个圆型小道的施工总工时为
=
<
.
故5周内能完成前个圆型小道的修建工作.……………………14分