题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数，.
(1)设函数，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅱ） () ．

解析

试题分析：（I）因为，函数，.
所以=－lnx，其定义域为（0，+）。，
当a=0时，由f′（x）＞0，得，，故f（x）在（，+∞）上单调递增，在（0，）单调递减；
当a>0时，由f′（x）＞0，得，，故f（x）在（，+∞）上单调递增，在（0，）单调递减；
当a<0时，由f′（x）＞0，得，，故f（x）在（，+∞）上单调递增，在（0，）单调递减。
（Ⅱ）把方程整理为，
即为方程.       5分
设 ，原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点.           6分
         7分
令，因为，解得或（舍）             8分
当时, , 是减函数；当时, ，是增函数 10分
在()内有且只有两个不相等的零点, 只需 
即 ∴
解得, 所以的取值范围是() ．
点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。（I）中要对a的不同取值情况加以讨论，在解不等式取舍过程中易于出错。涉及不等式恒成立问题，转化成了研究函数的最值，通过构建a的不等式组，求得a的范围。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。