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题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
是定义在的可导函数,且不恒为0,记.若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶负函数 ”;若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶不减函数”(为函数的导函数).
(1)若既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数的取值范围;
(2)对任给的“2阶不减函数”,如果存在常数,使得恒成立,试判断是否为“2阶负函数”?并说明理由.
答案
(1)
(2)所有满足题设的都是“2阶负函数”
解析

试题分析:解:(1)依题意,上单调递增,
 恒成立,得,             2分
因为,所以.                        4分
而当时,显然在恒成立,
所以.                                       6分
(2)①先证
若不存在正实数,使得,则恒成立.     8分
假设存在正实数,使得,则有
由题意,当时,,可得上单调递增,
时,恒成立,即恒成立,
故必存在,使得(其中为任意常数),
这与恒成立(即有上界)矛盾,故假设不成立,
所以当时,,即;            13分
②再证无解:
假设存在正实数,使得
则对于任意,有,即有
这与①矛盾,故假设不成立,
所以无解,
综上得,即
故所有满足题设的都是“2阶负函数”.             16分
点评:主要是考查了新定义的运用,以及函数与方程的运用,属于中档题。
核心考点
试题【设是定义在的可导函数,且不恒为0,记.若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶负函数 ”;若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶不减函数”(为函数的导函数).(1】;主要考察你对指数函数图象及性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为     (   )
A.B.1 C.4D.

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某学生在复习指数函数的图象时发现:在y轴左边, y=3x与y=2x的图象均以x轴负半轴为渐近线, 当x=0时, 两图象交于点(0, 1).这说明在y轴的左边y=3x与y=2x的图象从左到右开始时几乎一样, 后来y=2x的图象变化加快使得y=2x与y=3x的图象逐渐远离, 而当x经过某一值x0以后 y= 3x的图象变化加快使得y=2x与y=3x的图象又逐渐接近, 直到x=0时两图象交于点(0, 1).那么x0=(   )
A.B.
C.D.

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已知函数),
(1)求函数的单调区间,并确定其零点个数;
(2)若在其定义域内单调递增,求的取值范围;
(3)证明不等式 ).
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(1)当,求的取值范围;
(2)若对任意恒成立,求实数的最小值.
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已知函数,则方程的不相等的实根个数为(    )
A.5B.6C.7D.8

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