题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

广东某品牌玩具企业的产品以往专销欧州市场，在欧债危机的影响下，欧州市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，主动投入内销产品的研制开发，并基本形成了市场规模，自2010年9月以来的第n个月（2010年9月为每一个月），产品的内销量、出口量和销售总量（内销量与出口量的和）分别为b_n、c_n和a_n（单位万件），分析销售统计数据发现形成如下营销趋势：b_n＋1＝aa_n，c_n＋1＝a_n＋ba（其中a、b为常数），且a₁＝1万件，a₂＝1.5万件，a₃＝1.875万件.
（1）求a,b的值，并写出a_n＋1与a_n满足的关系式；
（2）如果该企业产品的销售总量a_n呈现递增趋势，且控制在2万件以内，企业的运作正常且不会出现资金危机；试证明：a_n＜a_n＋1＜2.
（3）试求从2010年9月份以来的第n个月的销售总量a_n关于n的表达式.

答案

解：（1）依题意：a_n＋1＝b_n＋1＋c_n＋1＝aa_n＋a_n＋ba，
又a₂＝aa₁＋a₁＋ba，∴a＋1＋b＝……………………①
又a₃＝aa₂＋a₂＋ba，∴…………②
解①②得a＝1，b＝－从而a_n＋1＝2a_n－a(n∈N^*)……………………………（4分）
（2）证法（Ⅰ）由于a_n＋1＝2a_n－a＝－(a_n－2)²＋2≤2.
但a_n＋1≠2，否则可推得a₁＝2与a₁＝1矛盾.故a_n＋1＜2，于是a_n＜2，
又a_n＋1－a_n＝－a＋2a_n－a_n＝－a_n(a_n－2)＞0，
所以a_n＋1＞a_n，从而a_n＜a_n＋1＜2.……………………………………………………（9分）
方法（Ⅱ）用数学归纳法
（ⅰ）当n＝1时，a₁＝1，a₂＝1.5，显然a₁＜a₂＜2成立，
（ⅱ）假设n＝k时，a_k＜a_k＋1＜2成立.
由于函数f(x)＝－x²＋2x＝－(x－2)²＋2在［0,2］上为增函数，
则f(a_k)＜f(a_k＋1)＜f(2)即a_k(4－a_k)＜a_k＋1(4－a_k＋1)＜×2×(4－2)
即a_k＋1＜a_k＋2＜2成立.综上可得n∈N^*有a_n＜a_n＋1＜2.………………………………（9分）
（3）由a_n＋1＝2a_n－a得2(a_n＋1－2)＝－(a_n－2)²，即(2－a_n＋1)＝(2－a_n)²，
又由（2）知a_n＜a_n＋1＜2，可知2－a_n＋1＞0，2－a_n＞0，
则lg(2－a_n＋1)＝2lg(2－a_n)－lg2，∴lg(2－a_n＋1)－lg2＝2［lg(2－a_n)－lg2］
即{lg(2－a_n＋1)－lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg(2－a₁)－lg2＝－lg2
故lg(2－a_n)－lg2＝(－lg2)·2^n－1，∴a_n＝2－(n∈N^*)为所求.……………（13分）

解析

略