题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

（13分，理科做）已知函数的定义域为，且同时满足：①；②恒成立；③若，则有．
（1）试求函数的最大值和最小值；
（2）试比较与的大小N）；
（3）某人发现：当x=(nÎN)时，有f(x)<2x＋2.由此他提出猜想：对一切xÎ(0,1,都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．

答案

（理）解: (1)设0≤x1<x2≤1,则必存在实数tÎ(0,1),使得x2=x1＋t,
由条件③得,f(x2)=f(x1＋t)³f(x1)＋f(t)－2,
∴f(x2)－f(x1)³f(t)－2,
由条件②得, f(x2)－f(x1)³0,
故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).
又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)³f(1)＋f(0)－2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,
故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.
(2)解:在条件③中,令x1=x2=,得f()³2f()－2,即f()－2≤[f()－2],  
故当nÎN*时，有f()－2≤[f()－2]≤[f()－2]≤···≤[f()－2]=,
即f()≤＋2.
又f()=f(1)=3≤2＋,所以对一切nÎN,都有f()≤＋2.
(3)对一切xÎ(0,1,都有.对任意满足xÎ(0,1，总存在n(nÎN),使得
<x≤, 根据（1）（2）结论，可知：f(x)≤f()≤＋2,
且2x＋2>2´＋2=＋2,故有.
综上所述，对任意xÎ(0,1,恒成立. 

解析

略