题目

题型：解答题难度：困难来源：同步题

已知a是实数，函数f(x)=2ax²+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．

答案

解：若a=0，则函数f(x)=2x-3在区间[-1，1]上没有零点；
下面就a≠0时分三种情况讨论：
(1)方程f(x)=0在区间[-1，1]上有重根，此时Δ=解得，
当时，f(x)=0的重根；
当时，f(x)=0的重根，
故当方程f(x)=0在区间[-1，1]上有重根时，；
(2)f(x)在区间[-1，1]上只有一个零点且不是f(x)=0的重根，
此时有f(-1)f(1)≤0，
∵f(-1)=a-5，f(1)=a-1，
∴(a-5)(a-1)≤0，即1≤a≤5，
∵当a=5时，方程f(x)=0在区间[-1，1]上有两个相异实根，
∴当方程f(x)=0在区间[-1，1]上只有一个根且不是重根时，1≤a＜5；
(3)方程f(x)=0在区间[-1，1]上有两相异实根，
因为函数，其图象的对称轴方程为，
a应满足：
①或②，
解不等式组①得a≥5，
解不等式组②得，
故当方程f(x)=0在区间[-1，1]上有两个相异实根时，，
注意到当1≤a＜5时，f(-1)f(1)≤0，
方程f(x)=0在区间[-1，1]上有根；
当时，
由于f，且，方程f(x)=0在区间[-1，1]上有根；
当a=时，方程f(x)=0在区间[-1，1]上有根；
综上所述，函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，则a的取值范围是(-∞，)∪(1，+∞)。