题目
题型:解答题难度:困难来源:江苏月考题
(1)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点,求t的值;
(3)若存在x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1,试求a的取值范围.
答案
解:(1)f′(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna
由于a>1,
故当x∈(0,+∞)时,lna>0,ax﹣1>0,所以f′(x)>0,
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
(2)当a>0,a≠1时,
因为f′(0)=0,且f′(x)在R上单调递增,
故f′(x)=0有唯一解x=0
所以x,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:
又函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三个零点,
所以方程f(x)=t±1有三个根,
而t+1>t﹣1,
所以t﹣1=(f(x))min=f(0)=1,
解得t=2;
(3)因为存在x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1,
所以当x∈[﹣1,1]时,
|(f(x))max﹣(f(x))min|
=(f(x))max﹣(f(x))min
≥e﹣1,
由(Ⅱ)知,f(x)在[﹣1,0]上递减,在[0,1]上递增,
所以当x∈[﹣1,1]时,(f(x))min=f(0)=1,
(f(x))max=max{f(﹣1),f(1)},
而,
记,
因为(当t=1时取等号),
所以在t∈(0,+∞)上单调递增,
而g(1)=0,
所以当t>1时,g(t)>0;
当0<t<1时,g(t)<0,也就是当a>1时,f(1)>f(﹣1);
当0<a<1时,f(1)<f(﹣1)
①当a>1时,由f(1)﹣f(0)≥e﹣1a﹣lna≥e﹣1
a≥e,
②当0<a<1时,由,
综上知,所求a的取值范围为.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0,a≠1).(1)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)若函数y=|f(x)﹣t|﹣1有三】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)求f(x);
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域.
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