题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

求所有的正整数，使得是一个完全平方数，且除了2或3以外，没有其他的质因数.

答案

符合条件的值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.

解析

设，其中，则.
依题意，可设其中均为非负整数，于是
                  （1）…………………………5分
如果，则，这是不可能的.所以中至少有一个大于0，于是和均为偶数，从而均为正整数.
若，则，显然只可能（否则左右两边被4除的余数不相同），此时，显然只能是，此时.
…………………………10分
若，则是4的倍数，从而也是4的倍数，故，此时
                                       （2）
显然中至少有一个应为0（否则（2）式左右两边奇偶性不相同）.
1）当，即时，                    （3）
此时（否则等式左右两边奇偶性不相同），故.
若，则（3）式左边是9的倍数，而右边为3，矛盾，故只可能，从而（3）式即，它只有两组解和即和此时，对应的值分别为24和96，相应的值分别为864和10368. …………………15分
2）当，即时，                    （4）
此时显然（否则等式左右两边奇偶性不相同），故.
若，则（4）式左边是9的倍数，而右边是3，无解.故.
若，则，只可能，此时.
若，则（4）式即，它只有两组解和即和此时，对应的值分别为12和36，相应的值分别为288和1728.
因此，符合条件的值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.
…………………………20分