题目

题型：解答题难度：一般来源：期末题

已知二次函数f(x)=ax²+bx满足f(x-1)=f(x)+x-1，
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的零点，并写出f(x)＜0时，x取值的集合；
(3)设F(x)=4f(a^x)+3a^2x-1(a＞0，且a≠1)，当x∈[-1，1]时，F(x)有最大值14，试求a的值．

答案

解：(1)∵f(x)=ax²+bx满足f(x-1)=f(x)+x-1，
∴a(x-1)²+b(x-1)=ax²+bx+x-1，
即ax²-(2a-b)x+a-b=ax²+(b+1)x-1，
∴，解得，
∴。
(2)由f(x)=0得函数的零点为0，1，
又函数f(x)的图象是开口向下的抛物线，
∴f(x)＜0时x＞1或x＜0，
∴x取值的集合为{x|x＞1或x＜0}．
(3)由F(x)=4f(a^x)+3a^2x-1(a＞0，且a≠1)，得F(x)=a^2x+2a^x-1，
①当a＞1时，令u=a^x，
∵x∈[-1，1]，
∴，
令g(u)=u²+2u-1=(u+1)²-2，，
∵对称轴u=-1，
∴g(u)在上是增函数，
∴g_max(u)=g(a)=a²+2a-1=14，
∴a²+2a-15=0，
∴a=3，a=-5（舍）；
②当0＜a＜1时，令u=a^x，
∵x∈[-1，1]，
∴，
∴g(u)=u²+2u-1=(u+1)²-2，，
∵对称轴u=-1，
∴g(u)在上是增函数，
∴，
∴(舍)，∴；
综上，或a=3．