题目

题型：解答题难度：一般来源：江苏期末题

二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）；
①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围；
②求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．

答案

解：（1）由条件设二次函数f（x）=a（x﹣1）2+16=ax²﹣2ax+a+16，
设f（x）=0的两根为：x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵图象在x轴上截得线段长为8，由韦达定理得：
（x₂﹣x₁）²=（x₂+x₁）²﹣4x₂x₁=（﹣2）²﹣4×a+16 a=64
解得a=﹣1，
∴函数的解析式为f（x）=﹣x²+2x+15．
（2）①∵f（x）=﹣x²+2x+15，
∴g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）=x²﹣2ax﹣15，而g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，
∴对称轴x=a在[0，2]的左侧，
∴a≤0．所以实数a的取值范围是{a|a≤0}．
②g（x）=x²﹣2ax﹣15，x∈[0，2]，对称轴x=a，
当a＞2时，g（x）_min=g（2）=4﹣4a﹣15=﹣4a﹣15，
当a＜0时，g（x）_min=g（0）=﹣15，
当0≤a≤2时，g（x）_min=g（a）=a²﹣2a²﹣15=﹣a²﹣15．