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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0)同时满足下列条件:①f(1)=1;②当x∈R时,恒有f(x)≥x成立;③当x∈R时,恒有f(x-4)=f(2-x)成立.
(1)求f(x)的表达式;
(2)设g(x)=4f(x)-4x+2,试问g(x)是否存在这样的区间[a,b](a<b)同时满足下列条件:①g(x)在[a,b]上单调;②若g(x)的定义域是[a,b],则其值域也是[a,b].若存在,求出这样的区间[a,b],若不存在,试说明理由.
答案
(1)因当x∈R时,恒有f(x)≥x成立,
即ax2+(b-1)x+c≥0,∴△=(b-1)2-4ac≤0,且a>0,①
当x∈R时,恒有f(x-4)=f(2-x)成立,则函数f(x)=ax2+bx+c和图象的对称轴是x=-1,
即-
b
2a
=-1,∴b=2a,②
又f(1)=1,∴a+b+c=1,③
由①②③解得:a=
1
4
,b=
1
2
,c=
1
4

∴f(x)的表达式为f(x)=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4

(2)g(x)=4f(x)-4x+2=x2-2x+3,
假设存在这样的区间[a,b](a<b)同时满足下列条件:①g(x)在[a,b]上单调;②若g(x)的定义域是[a,b],则其值域也是[a,b].
∵g(x)在[a,b]上单调,∴a≥1或b≤1.
当a≥1时,g(x)在[a,b]上单调增,若g(x)的定义域是[a,b],则值域为[a2-2a+3,b2-2b+3],





a2-2a+3=a
b2-2b+3=b
,此方程组无解;
当b≤1时,g(x)在[a,b]上单调减,若g(x)的定义域是[a,b],则值域为[b2-2b+3,a2-2a+3],





a2-2a+3=b
b2-2b+3=a
,此方程组无解;
综上可知,不存在这样的区间[a,b](a<b)同时满足条件.
核心考点
试题【设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0)同时满足下列条件:①f(1)=1;②当x∈R时,恒有f(x)≥x成立;③当x∈R时,恒有f(x-4)=】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=-x2+x+1,x∈[0,
3
2
]
的最值情况为(  )
A.有最小值
1
4
,有最大值1
B.有最小值
1
4
,有最大值
5
4
C.有最小值1,有最大值
5
4
D.有最小值,无最大值
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,
(1)若f(x)有一个零点为-1,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=x2-2ax+2,若x∈[1,3]时f(x)的最小值为2,求实数a的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知二次函数的图象如图所示.
(1)写出该函数的零点;
(2)写出该函数的解析式.
(3)求当x∈[-2,2]时,函数的值域.魔方格
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+2ax-1
(1)若f(1)=2,求实数a的值,并求此时函数f(x)的最小值;
(2)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(3)若f(x)在(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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