题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
f(x) |
x-1 |
(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值时,函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点,并求出极值点.
答案
即不等式x2+(a+1-2m)x+m2+m<0的解集为(m,m+1),
∴x2+(a+1-2m)x+m2+m=(x-m)(x-m-1).
∴x2+(a+1-2m)x+m2+m=x2-(2m+1)x+m(m+1).
∴a+1-2m=-(2m+1).
∴a=-2.
(2)由(1)得g(x)=
f(x) |
x-1 |
x2-2x+m+1 |
x-1 |
m |
x-1 |
∴φ(x)=g(x)-kln(x-1)=(x-1)+
m |
x-1 |
∴φ"(x)=1-
m |
(x-1)2 |
k |
x-1 |
x2-(2+k)x+k-m+1 |
(x-1)2 |
方程x2-(2+k)x+k-m+1=0(*)的判别式△=(2+k)2-4(k-m+1)=k2+4m.
①当m>0时,△>0,
方程(*)的两个实根为x1=
2+k-
| ||
2 |
2+k+
| ||
2 |
则x∈(1,x2)时,φ"(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ"(x)>0.
∴函数φ(x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)有极小值点x2.
②当m<0时,由△>0,得k<-2
-m |
-m |
若k<-2
-m |
2+k-
| ||
2 |
2+k+
| ||
2 |
故x∈(1,+∞)时,φ"(x)>0,
∴函数φ(x)在(1,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)没有极值点.
若k>2
-m |
2+k-
| ||
2 |
2+k+
| ||
2 |
则x∈(1,x1)时,φ"(x)>0;x∈(x1,x2)时,φ"(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ"(x)>0.
∴函数φ(x)在(1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.
综上所述,当m>0时,k取任意实数,函数φ(x)有极小值点x2;
当m<0时,k>2
-m |
(其中x1=
2+k-
| ||
2 |
2+k+
| ||
2 |
核心考点
试题【已知二次函数f(x)=x2+ax+m+1,关于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集为(m,m+1),其中m为非零常数.设g(x)=f(x)x-1.】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
4 |
(1)求不等式f(x)>4的解集;
(2)若对任意x∈[1,9],不等式f(x-t)≤x恒成立,求实数t的取值范围.
A.(-∞,-1)∪(0,+∞) | B.(-∞,0)∪(1,+∞) | C.(-1,0) | D.(0,1) |
5 |
8 |
3 |
2 |
(1)当a=1时,求函数f(x)的最大值;
(2)若x∈[0,
π |
2 |
1 |
2 |
(1)求f(1);
(2)求f(x)的解析表达式;
(3)证明:
1 |
f(1) |
1 |
f(2) |
1 |
f(n) |
1 |
3 |
1 |
2 |
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