题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

（本小题满分14分）
已知二次函数的图象过点，且函数对称轴方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设函数，求在区间上的最小值；
（Ⅲ）探究：函数的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.

答案

解：(Ⅰ)　∵　的对称轴方程为，∴　． ………… 2分
又的图象过点（1，13），∴　，∴　．
∴　的解析式为． ………………………………………… 4分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得： ……………………… 6分
结合图象可知：当，；
当，；
当，．……………………………… 9分
∴ 综上：　……………………………………… 10分
（Ⅲ）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为，其中为正整数，
为自然数，则，  　　　……………………………………… 11分
（法一）从而， 即 ． 
注意到是质数，且，又，
所以只有 ，  解得：．…………………………… 13分
因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为．………… 14分
（法二）从而的偶数，∴　的奇数
∴　取验证得，当时符合
因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为．………… 14分

解析

略