题目

题型：解答题难度：困难来源：广东省模拟题

已知函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），，x∈R，a>0。
（1）判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求函数g（x）的单调递增区间；
（3）证明：对任意实数x₁和x₂，且x₁≠x₂，都有不等式成立。

答案

解：（1）∵函数g（x）的定义域为R，
且g（-x）=f（-x）-f（x）+

 ∴函数g（x）是奇函数。
（2）g"（x）=


当a=1时，g"（x）=e^-x（e^x-1）²≥0当且仅当x=0时等号成立，
故 g（x）在R上递增；
当0＜a＜1时，，
令g"（x）>0得或e^x＜a，
故g（x）的单调递增区间为（-∞，lna）或（-lna，+∞）；
当a>1时，，令g"（x）>0得e^x>a或
故g（x）的单调递增区间为（-∞，-lna）或（lna，+∞）。
（3）不妨设x₁>x₂，


令，则只需证
先证，由（2）知在R上递增，
∴当x>0时，g（x）>g（0）=0，
∴，从而由x>0知成立；
再证，即证
令，则
是减函数，
∴当x>0时，h（x）＜h（0）=0，
从而成立
综上，对任意实数x₁和x₂，且x₁≠x₂，都有不等式
成立。