题目

题型：解答题难度：一般来源：山西省模拟题

定义域[-1，1]的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2），且当x∈（0，1）时，．  
（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
（2）求函数f（x）的值域．

答案

解：（1）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），
则f（﹣x）=﹣2x+ 
∵f（x）为[﹣1，1]的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∴f（x）=2x﹣ 
又∵f（0）=﹣f（0），
∴f（0）=0
∵f（﹣1）=﹣f（1），f（﹣1）=f（1﹣2）=f（1）
∴f（﹣1）=0，f（1）=0
∴f（x）= 
（2）∵x∈（0，1）时， ．  
∴f′（x）=2+ ＞0
∴f（x）在（0，1）上为增函数，f（x）∈（0，3）
∵f（x）为[﹣1，1]的奇函数，
∴f（x）在（﹣1，1）上为增函数
∴当x∈（﹣1，1）时，f（x）∈（﹣3，3），f（±1）=0
∴函数f（x）的值域为（﹣3，3）