题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
x3-x-3 |
5 |
x3+x-3 |
5 |
(1)求证:f(x)是奇函数,并求f(x)的单调区间;
(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
答案
∵f(-x)=
(-x)3-(-x)-3 |
5 |
x3-x-3 |
5 |
∴f(x)是奇函数.…(4分)
设0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=
1 |
5 |
x | 31 |
x | -31 |
1 |
5 |
x | 32 |
x | -32 |
1 |
5 |
x | 31 |
x | 32 |
1 | ||||
|
∵y=x3r上是增函数,故
x | 31 |
x | 32 |
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.…(8分)
又∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数.
∴函数f(x)的增区间是(-∞,0)和(0,+∞).…(10分)
(2)f(4)-5f(2)g(2)=
43-4-3 |
5 |
23-2-3 |
5 |
23+2-3 |
5 |
43-4-3 |
5 |
43-4-3 |
5 |
同理f(9)-5f(3)g(3)=0.猜想:f(x2)-5f(x)g(x)=0 …(14分)
证明:∵f(x2)-5f(x)g(x)=
x6-x-6 |
5 |
x3-x-3 |
5 |
x3+x-3 |
5 |
x6-x-6 |
5 |
x6-x-6 |
5 |
∴等式成立.…(16分)
核心考点
试题【已知f(x)=x3-x-35,g(x)=x3+x-35.(1)求证:f(x)是奇函数,并求f(x)的单调区间;(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A.2 | B.3 | C.-2 | D.-3 |
1+x2 |
1-x2 |
A.f(x)是奇函数,且f(
| B.f(x)是奇函数,且f(
| ||||
C.f(x)是偶函数,且f(
| D.f(x)是偶函数,f(
|
2 |
3x-1 |
(2)画出函数y=|3x-1|的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程|3X-1|=k无解?有一解?有两解?
A.-3 | B.-1 | C.1 | D.3 |
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