题目
题型:解答题难度:一般来源:佛山一模
(Ⅰ)已知函数f(x)=x-2sinx.求证:y=x+2为曲线f(x)的“上夹线”.
(Ⅱ)观察下图:
![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819013716-85310.png)
根据上图,试推测曲线S:y=mx-nsinx(n>0)的“上夹线”的方程,并给出证明.
答案
当x=-
π |
2 |
此时y1=x+2=-
π |
2 |
π |
2 |
y1=y2,所以(-
π |
2 |
π |
2 |
当x=
3π |
2 |
此时y1=x+2=
3π |
2 |
3π |
2 |
y1=y2,,所以(
3π |
2 |
3π |
2 |
所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点;
对任意x∈R,g(x)-F(x)=(x+2)-(x-2sinx)=2+2sinx≥0,
所以g(x)≥F(x)(6分)
因此直线l:y=x+2是曲线S:y=ax+bsinx的“上夹线”.(7分)
(Ⅱ)推测:y=mx-nsinx(n>0)的“上夹线”的方程为y=mx+n(9分)
①先检验直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切,且至少有两个切点:设:F(x)=mx-nsinx
∵F"(x)=m-ncosx,令F"(x)=m-ncosx=m,得:x=2kπ±
π |
2 |
当x=2kπ-
π |
2 |
π |
2 |
π |
2 |
故:过曲线F(x)=mx-nsinx上的点2kπ-
π |
2 |
π |
2 |
y-[m(2kπ-
π |
2 |
π |
2 |
即直线y=mx+n与曲线y=F(x)=mx-nsinx相切且有无数个切点.(12分)
不妨设g(x)=mx+n
②下面检验g(x)≥F(x)
∵g(x)-F(x)=m(1+sinx)≥0(n>0)
∴直线y=mx+n是曲线y=F(x)=mx-nsinx的“上夹线”.(14分)
核心考点
试题【设直线l:y=g(x),曲线S:y=F(x).若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;②对任意x∈R都有g(x)≥F(x).】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.y=cosx | B.y=|x+1| | C.y=ln
| D.y=ex+e-x |
A.3 | B.4 | C.5 | D.6 |
A.2k(k∈Z) | B.2k或2k+
| ||
C.0 | D.2k或2k-
|
A.1个 | B.2个 | C.3个 | D.4个 |
A.(-
| B.(-1,0) | C.(-
| D.(-
|
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